Fraktal (łac. fractus - złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza
zwykle obiekt "samopodobny" (tzn. taki, którego części są podobne do
całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet
w wielokrotnym powiększeniu).
Obiekty fraktalne powstają poprzez stosowanie ścisłych matematycznych reguł,
tzw. funkcji iteracyjnych, czyli powtarzalnych "przepisów", których wartości
stają się danymi wejściowymi dla ich kolejnych powtórzeń. Aby uzyskać
interesujący kształt, należy przeprowadzić od kilkudziesięciu tysięcy do nawet
milionów czy też miliardów powtórzeń takich funkcji. Z powodu tej obliczeniowej
złożoności geometria fraktalna znacząco rozwinęła się dopiero po powstaniu
komputerów o dużej mocy obliczeniowej.
Płatek Kocha
powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z
usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.
Krzywa Kocha w kroku zerowym (k=0) jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości 1/3 l, nachylone względem
niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.
Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k=1), po transofmacji zawiera 4 odcinki, każdy równy 1/3 l. W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie
podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.
Krzywa Kocha w kroku drugim (k=2) zawiera już 16 odcinków, każdy długości 1/9 l. W kolejnym kroku (k=3) powstanie 64 odcinków, każdy długości 1/27 l itd.
Po połączeniu trzech Krzywych Kocha pod kątem 60° chropowatą stroną na zewnątrz powstaje fi gura przypominająca płatek śniegu. Fraktal ten zwany jest Płatkiem Kocha.
Krzywa ta jest nieskończenie długa, lecz ograniczona skończoną powierzchnią.
Trójkąt Sierpińskiego
jest jednym z najprostszych fraktali. Otrzymujemy go w następujący sposób: w trójkącie równobocznym łączymy środki krawędzi, dzieląc go w ten sposób na cztery
mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwamy, a wobec trzech pozostałych trójkątów powtarzamy tę samą operację, to jest dzielimy każdy na cztery mniejsze trójkąty,
usuwamy środkowy, a wobec pozostałych powtarzamy i tak dalej. Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Do gry potrzebna
będzie nam kartka papieru i coś do pisania. Zaznaczamy na papierze trzy punkty, numerując je 1, 2, 3. Będziemy je nazywać bazami. Bierzemy kostkę, by móc wybrać
losowo liczby 1, 2, 3. Kostkę taką otrzymamy po przerobieniu zwykłej kostki do gry, wystarczy że podstawimy za szóstkę jedynkę, za piątkę dwójkę, a za czwórkę
trójkę. Teraz możemy rozpocząć grę. Na początku gry wybieramy dowolny punkt na kartce i zaznaczmy go w postaci kropki. Nazwijmy go punktem wiodącym. Następnie
rzucamy kostką. Jeśli, na przykład otrzymamy liczbę 2, wyznaczmy odcinek pomiędzy punktem wiodącym i bazą 2 oraz zaznaczamy punkt dokładnie w środku tego odcinka,
tzn. dokładnie w połowie pomiędzy punktem wiodącym i bazą 2. Będzie to nowy punkt wiodący. Teraz znów rzucamy kostką, by w sposób losowy otrzymać liczbę 1, 2 lub
3, i w zależności od rezultatu wyznaczyć nowy punkt wiodący w połowie pomiędzy poprzednim punktem wiodącym a losowo wybraną bazą. Przy dużej liczbie powtórzeń tej
gry, otrzymamy zadziwiające rezultaty. Naszym oczom ukaże się wyrażnie zarysowujący się trójkąt Sierpińskiego.
Dywan Sierpińskiego
Drzewo Pitagorejskie
Drzewa pitagorejskie to fraktale stanowiące żonglerkę znanym algorytmem „zbuduj trójkąt prostokątny, a na jego bokach kwadraty”. Rysunek przedstawia schemat
powstawania takiej figury. W pierwszym kroku rysujemy kwadrat, następnie trójkąt prostokątny równoramienny, którego przeciwprostokątna jest jednym z boków
kwadratu. W kolejnym kroku na każdej z przyprostokątnych trójkąta konstruujemy kwadrat, z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.
Trójkąt może być przez nas dowolnie modyfikowany, prowadząc do diametralnie rożnych wyników. Drzewa pitagorejskie są przykładem wprowadzenia nowych
narzędzi badawczych do nauk przyrodniczych. Dzięki niewielkim modyfi kacjom możemy stworzyć zadziwiające konstrukcje przypominające twory natury.
Krzywa Hilberta
To przykład krzywej, która wypełnia całkowicie płaszczyznę, tzn. przechodzi przez wszystkie punkty płaszczyzny. Kostrukcja tej krzywej została podana przez
Davida Hilberta. Powstaje ona w wyniku połączenia łamaną środków kwadratów powstałych z podziału kwadratu podstawowego kolejno na 4, 16, 64, 256, itd.
